معرفی سیستمهای آشوبی

با سلام، در این صفحه قصد دارم یک بحث اجمالی در مورد سیستمهای آشوبی برای علاقه مندان ارائه بدم. امیدوارم براتون مفید باشه.

تاریچه آشوب و دینامیک‌های آشوبگونه

سیستمهای آشوبگونه [1] و مساله سنکرون سازی آنها در سالهای اخیر کانون توجه دانشمندان در شاخه های مختلف علوم قرار گرفته است  روشهای گوناگونی مانند کنترل پسخورد خطی و غیر خطی  و کنترل تطبیقی برای نیل به هدف سنکرون سازی به کار گرفته شده اند. بسیاری از این روشها سنکرون کردن در سیستم آشوبگونه با ساختار دینامیکی یکسان به کار رفته اند و کار کمی در زمینه سنکرون کردن دو سیستم آشوبگونه با ساختار دینامیکی متفاوت انجام شده است.تا قبل از قرن بیستم معادلات دیفرانسیلی خطی، مدل ریاضی اصلی برای سیستم‌های الکتریکی، مکانیکی و غیره بودند. سپس مدل‌های نوسانی خطی ارائه شدند که آنها نیز مانند معادلات دیفرانسیلی خطی، قادر به توصیف فرایندها و پدیده‌های مهندسی و فیزیکی جدید نبودند. اساس مدل‌های ریاضی جدید و نظریه نوسانات غیرخطی توسط éA. Poincar، B. Van der Pol، A.A. Andronov، N.M. Krylov و N.N. Bogolyubov پایه‌گذاری شد. یکی از مهمترین مفاهیم این نظریه، چرخه محدود[2] پایدار می‌باشد.

حتی ساده‌ترین مدل‌های غیرخطی قادر به توصیف نوسانات غیر‌خطی پیچیده و نوساناتی که وابستگی شدید به شرایط اولیه دارند (سیستم‌هایی با چندین چرخه محدود)، هستند. مدل‌های نوسانی خطی و مدل‌های غیرخطی با چرخه‌های محدود نیاز مهندسین را برای چندین دهه برآورده‌ کردند. آنها بر این باور بودند که این مدل‌ها تمامی انواع نوسانات ممکن یک سیستم قطعی را توصیف می‌کنند. این اعتقاد به وسیله یافته‌های ریاضی حمایت می‌شد. برای مثال تئوری معروف Poincaré-Bendixson ادعا می‌کرد که حالت تعادل و چرخه محدود تنها موارد ممکن حرکات پایدار محدود‌شده در یک سیستم درجه دوم پیوسته است .

به هر حال در اواسط قرن گذشته ریاضیدانانی چون M. Cartwright، J. Littlewood و S. Smale نشان دادند که این موارد برای سیستم‌های درجه سه کافی نیستند و حرکات پیچیده‌ای مانند نوسانات غیر متناوب محدود‌شده برای اینگونه سیستم‌ها ممکن است. در سال 1963 فیزیکدانی به نام E. Lorenz، با مقاله خود انقلابی ایجاد کرد. وی نشان داد که طبیعت کیفی تلاطم جوی که از معادلات دیفرانسیلی پاره‌ای پیچیده Navier-Stokes پیروی می‌کند، به وسیله یک مدل غیر خطی درجه سه قابل نمایش است:

                                                                                                                                           (1)                                  

برای بعضی از مقادیر پارامترها (برای مثال ،  و )، حل سیستم (1) یک سری نوسانات نامنظم را نتیجه می‌دهد. او همچنین نشان داد که یک سیستم دینامیکی اتلافی می تواند دارای مسیرهای محدود شده ای باشد که به یک ساختار پیچیده به نام جذب کننده عجیب (Strange attractor) جذب می گردند. این ساختار اگر چه نقاط واقع در همسایگی خود را جذب می کند ولی در مسیر خود دارای مقداری ناپایداری ذاتی می باشد.

مسیرها در فضای حالت می‌توانند به یک مجموعه محدود "جاذب" با مشخصات بسیار پیچیده نیل کنند. به وسیله تلاش‌های D. Ruelle و F. Takens که این جاذب‌ها را "عجیب" نامیدند و همچنین تلاش‌های Li و Yorke  که واژه "آشوب" را برای نشان دادن پدیده‌های نامنظم در سیستم‌های غیرخطی معرفی کردند، توجه فیزیکدانان و ریاضیدانان و سپس مهندسین به سمت این مدل‌ها جذب شد. از این به بعد رفتارهای آشوبگونه در بسیاری از سیستم‌ها کشف شد. بسیاری از پدیده‌های طبیعی می‌توانند به وسیله سیستم‌های آشوبگونه توصیف شوند.

از اواسط قرن گذشته، این حقیقت که بعضی از سیستم‌های دینامیکی شرایط لازم برای آشوبگونه بودن را از خود نشان می‌دهند شناخته شده بود. ولی در سی سال گذشته بود که مشاهدات تجربی به این موضوع اشاره کرد که سیستم‌های آشوبگونه در طبیعت یافت می‌شوند .

برای مثال، اینگونه سیستم‌ها در جو، در منظومه شمسی و در قلب و مغز موجودات زنده یافت ‌می‌شوند. همچنین در علم شیمی (واکنش Belouzov-Zhabotinski)، در علم اپتیک غیرخطی (لیزر)، در الکترونیک (مدار Chua-Matsumoto)، در دینامیک سیالات (انتقال گرما Rayleigh-Bénard) و غیره یافت می‌شوند .

روش‌های تحلیلی توسعه یافته جدید و مطالعات عددی سیستم‌ها نشان می‌دهد که آشوب به هیچ وجه یک رفتار استثنایی از سیستم‌های غیر خطی نیست. به طور تقریبی می‌توان گفت که اگر مسیرهای سیستم به طور سراسری کراندار، و به طور محلی ناپایدار باشند، حرکات آشوبگونه به وجود می‌آید. در بخش بعدی تعاریف ساده‌ای از سیستم‌های آشوبگونه ارائه می‌شود.

اهمیت بررسی پدیده آشوب

اهمیت و لزوم وجود این بخش از آن جهت می باشد که انگیزه های لازم و قوی را به منظور تجزیه و تحلیل این پدیده غیر خطی تامین نماید. باعث روشن شدن زمینه های حضور و ظهور آشوب و همچنین تاثیرات آن بر عملکرد سیستمها خواهد شد. نیاز به دانستن و تحقیق نه تنها امکان شناخت هر چه بیشتر از سیستمها را فراهم می نماید بلکه سبب تحقق موارد ذیل نیز می گردد:

- فراهم گشتن امکان توضیح و کشف علل بسیاری اط حوادث یا پدیده های طبیعی.

- امکان جلوگیری از برخی سوانح و خطرات.

- تصحیح رفتار و عملکرد  برخی از سیستمها در جهت مطلوب.

- ایجاد آشوب در محدوده ای مشخص و تحت شرایطی کنترل شده.

- تشخیص علت پاره ای از  بی نظمی ها و تصحیح قوانین علمی و کشف قوانین جدید.

- درمان برخی بیماریها و ایجاد محیطی بهتر و سالم تر.

موارد استفاده از آشوب

جالب ترین نحوه برخورد با سیستمهای آشوبی، مبارزه و حذف آنها نیست، بلکه استفاده از آنها می باشد. برای رفتارهای آشوبی پاره ای موارد بسیار جالب و منحصر به فرد پیدا شده است. برخی از سیستمهایی که از رفتارهای آشوبی استفاده می کنند یا تحت تاثیر آنها به طور عمده قرار می گیرند بسیار پیشرفته، گران قیمت و حیاتی هستند.

به هر حال، موارد استفاده و روشهای به کار گیری از سیستمهای آشوبی از زمینه های مهم تحقیق و پژوهش می باشد. برخی از موارد استفاده از رفتارهای آشوبی به قرار زیر است:

به منظور تولید اعداد تصادفی. در برخی از سیستمها نیاز به زنجیره ای از اعداد تصادفی می باشد. در این گونه موارد از سیستمهای آشوبی استفاده فراوان می شود.

به منظور ارسال اطلاعات بسیار محرمانه. در سیستمهای مخابراتی پیشرفته به منظور تولید فرکانس حامل که به صورت تصادفی تغییر می کند از سیستمهای آشوبی استفاده می شود. بدین صورت امکان ارسال اطلاعات بسیار محرمانه به صورتی امن فراهم می شود.

تولید اغتشاش در جنگ های الکترونیکی. در این موارد برایایجاد سردر گمی، بی اثر کردن . ایجاد مشکل در سیستمهای الکترونیکی دشمن از سیستمهای آشوبی استفاده می شود. فرکانسهای تئلیدی توسط یک سیستم آشوبی، تقویت شده و به سمت سیستمهای دشمن ارسال می گردد. سیستمهای دشمن می تواند از قبیل رادار، هواپیما، موشک و ... باشند.

تعریف سیستم‌های آشوبگونه

از رفتار نامنظم غیر قابل پیش بینی بسیاری از سیستمهای غیرخطی به عنوان آشوب نام برده می شود این گونه رفتار در نوسانگرهای مکانیکی مانند پاندول ها، در سیالات گرم شده [3] یا پیچیده [4] در حفره های لیزر و در برخی واکنشها شیمیایی رخ میدهد.یکی از مشخصه های اصلی سیستمهای آشوبگونه این است که رفتار گذشته اش را تکرار نمی کند (حتی به طور تقریبی). یک مشخصه دیگر برای سیستمهای دینامیکی که رفتار آشوبی از خود نشان می دهند، این است که چنین سیستمهایی باید حتما حداقل یک عبارت غیرخطی را در برداشته باشند.

 رفتارهای پرپودیک را آشوبگونه در شکلهای 1 و 2 از یکدیگر متمایز شده اند.

سیگنالی با رفتار پریودیک شکل(1)

شکل(2) سیگنالی آشوبگونه

سیستمهای دینامیکی آشوبگونه دارای معادلات قطعی هستند مانند آنهایی که از قانون دوم نیوتن استخراج شده اند یک ویژگی منحصر به فرد سیستمهای آشوبگونه ، وابستگی حساس آن به شرایط اولیه می باشد. در بررسی حالت های سیستمی می توان  مشاهده کرد که  اگر سیستم  از دو حالت اولیه با اختلاف بسیار کم مثلاٌ x وx+ε که ε یک مقدار بسیار کوچک است شروع به حرکت کند درسیستمهای غیر آشوبگونه این اختلاف کم فقط منجر به خطایی در پیش بینی می شود که به صورت خطی با زمان زیاد می شود در مقابل سیستمهای آشوبگونه خطا به صورت نمایی با زمان رشد می کند به گونه ای که پس از زمان کوتاهی حالت سیستم نا آشنا می گردد در این مورد حالت های دو سیستم خیلی زود از یکدیگر جدا می شوند این در مورد یک سیستم دینامیکی آشوبگونه که با شرط اولیه سیار نزدیک به هم به اجرا در آمده نشان داده شده است. از این پدیده که فقط سیستمهای غیرخطی رخ میدهد تحت عنوان حساسیت به شرایط اولیه نام برده می شود. در شکل (3) دو مسیر حالت شروع شده  از شرایط اولیه  که با علامت ضربدر مشخص شده و  که با علامت دایره مشخص شده نشان می دهد که بعد از مدتی از یکدیگر واگرا شده  اند.

شکل 3) حساسیت سیستم آشوبگونه به شرایط اولیه

در سیستم‌های آشوبگونه یک واگرایی اولیه کوچک دلخواه نه تنها کوچک باقی نمی‌ماند بلکه به طور نمایی رشد می‌کند. شایان ذکر است که طیف فرکانسی یک مسیر آشوبگونه پیوسته است. در بسیاری موارد این نوسانات نامنظم و غیر متناوب بهتر می‌تواند نمایانگر فرایندها در سیستم‌های فیزیکی باشد. سیستم‌های آشوبگونه یک رده از مدل‌‌های نامعین[5]، متفاوت از مدل‌های اتفاقی[6] هستند. در یک سیستم قطعی با اطلاعات حالت سیستم در زمان جاری می‌توان مسیر آینده را تا مدت زمان دلخواه طولانی پیش بینی کرد، و در مدل‌‌های اتفاقی حتی برای یک مدت زمان کوتاه  هم نمی‌توان پیش بینی دقیق داشت. ولی در مدل‌‌های آشوبگونه خطای پیش بینی به سرعت رشد می‌کند و در نتیجه پیش بینی می‌تواند فقط برای مدت زمان محدود و با یک خطای پیش بینی مجاز صورت پذیرد زیرا وضعیت فعلی سیستم به وضعیت قبلی آن وابسته است. در حالیکه در یک سیستم تصادفی وضعیت جاری سیستم از وضعیت پیشین آن مستقل است. در حرکت تصادفی، مدل و یا ورودی دارای عدم قطعیت است و به همین دلیل تغییرات زمانی خروجی نمی تواند به طور کامل پیش بینی شود ( فقط امکان دسترسی به مقادیر آماری وجود دارد).  به طور کلی آشوب رفتاری شبیه نویز دارد اما از نویز متفاوت می باشد. چرا که دامنه یک پدیده آشوبی همواره بین دو مقدار مشخص و دارای مرز است و دوم اینکه در پدیده های آشوبی در بازه زمانی کوتاه امکان پیش بینی رفتار سیستم وجود دارد در حالیکه در سیستم نویزی این امکان وجود ندارد، پدیده آشوب بسیار وابسته به شرایط اولیه می باشد و پیشگویی آن در زمان زیاد امکان پذیر نیست، چرا که تغییرات خروجی به صورت نمایی با شرایط اولیه تغییر میابد.

---

[1] - Chaotic

[2] Limit cycle

 Heated Fluids - [3]

 Rotating- [4]

[5] Indeterminacy

[6] Stochastic